00.1｜从三个数字开始：单位、向量与点乘叉乘

先回答一个问题：机器人到底往哪里走？

“速度是 2”并不完整：每秒两米还是两厘米？向北还是向下？本课只需要会四则运算。学习目标不是背符号，而是能把一个速度和一个力矩亲手算出来。

第一步：标量只要一个数，向量还需要方向

质量 $m=20\ \mathrm{kg}$ 是标量。导航系 $n$ 的三根正轴依次指北、东、下，简称 NED。位置写成

$$p^n=\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix}\mathrm m.$$

$p$ 表示位置，上标 $n$ 不是乘方，而是“这些数字按导航轴记账”。这表示从选定原点向北两米、向西一米、向下三米。下标 $x,y,z$ 表示第一、二、三分量；$p_x^n=2\ \mathrm m$。机体系 $b$ 的正轴是前、右、下，简称 FRD。两种坐标系都是右手系，但“前”只有在机头朝北且水平时才等于“北”。

单位也是计算的一部分。速度 $v$ 乘时间 $t$ 才得到位移，不能把速度直接加到位置：

$$\Delta p^n=v^n\Delta t, \qquad \begin{bmatrix}1\\-0.5\\0\end{bmatrix}\frac{\mathrm m}{\mathrm s} (2\ \mathrm s)=\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}\mathrm m.$$

$\Delta$ 表示“变化量”，$\Delta t$ 是经过的时间。只有单位相同、坐标系相同、物理含义相容的量才能逐分量相加。两个向量的加法就是三个普通加法。

第二步：长度不是把三个分量相加

向量 $a=[a_x,a_y,a_z]^T$ 中的 $T$ 是转置，把横写的一行变成竖写的一列。长度由三维勾股定理给出：

$$\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.$$

双竖线表示长度，不是绝对值逐项相加。若位移 $a=[3,4,0]^T\ \mathrm m$，长度为 $5\ \mathrm m$。单位方向 $d=a/\|a\|=[0.6,0.8,0]^T$ 无量纲，长度为一；零向量不能这样除，因为它没有确定方向。

第三步：点乘把“沿某方向有多少”算成一个数

对同一坐标系中的向量 $a,b$，点乘定义为

$$a^Tb=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=\|a\|\|b\|\cos\gamma.$$

$\gamma$ 是两个非零向量的夹角。点乘结果是标量；垂直时为零，同向时为正。若力 $F=[3,4,0]^T\ \mathrm N$，前向单位轴 $e_x=[1,0,0]^T$，则 $e_x^TF=3\ \mathrm N$。若位移 $s=[2,0,0]^T\ \mathrm m$，力恒定时做功 $F^Ts=6\ \mathrm J$，因为只有沿位移的力做功。这里 $\mathrm J=\mathrm{N\,m}$ 是焦耳。

第四步：矩阵只是同时执行几行“乘完再相加”

矩阵有行数和列数。$A$ 是 $2\times3$ 矩阵、$x$ 是 $3\times1$ 列向量时，内部的三相等，所以能相乘；结果为 $2\times1$：

$$A x= \begin{bmatrix}1&2&0\\0&-1&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2\\1\\4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1(2)+2(1)+0(4)\\0(2)-1(1)+3(4)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4\\11\end{bmatrix}.$$

同一个物理速度换坐标时用 $v^n=R_b^n v^b$。$R_b^n$ 是三行三列、无量纲的旋转矩阵，下标是来源，上标是目标。水平机体朝东时，机体前、右、下分别指向东、南、下，因此三列为

$$R_b^n=\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}, \qquad R_b^n\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\2\\0\end{bmatrix}.$$

这不是把机器人转了一次，而是把同一条每秒两米的前向速度换一种记法。旋转前后长度都为二。

第五步：叉乘输出一个向量，解释转动趋势

点乘回答投影，叉乘回答两方向张成平面的法向及有向面积。先直接按分量计算，不必从行列式记忆：

$$a\times b= \begin{bmatrix}a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\end{bmatrix} =[a]_\times b, \quad [a]_\times=\begin{bmatrix}0&-a_z&a_y\\a_z&0&-a_x\\-a_y&a_x&0\end{bmatrix}.$$

$[a]_\times$ 不是新物理量，只是把“与 $a$ 叉乘”写成矩阵乘法。交换顺序会变号：$b\times a=-a\times b$。因此力矩必须是杆臂叉力，不能反过来。

在 FRD 中，推进器位于参考点前方 $r^b=[0.5,0,0]^T\ \mathrm m$，向右施力 $F^b=[0,4,0]^T\ \mathrm N$：

$$N^b=r^b\times F^b= \begin{bmatrix}0\\0\\0.5(4)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\\2\end{bmatrix}\mathrm{N\,m}.$$

$N^b$ 是关于该参考点的力矩。正下轴力矩对应从上方看机头向右转。杆臂沿力的方向时，叉乘为零：推力可以很大，却不绕这个参考点产生力矩。

自检：先算再展开答案

1. 00-V1（单位）：速度 $[0,0,0.3]^T\ \mathrm{m/s}$ 持续 $2\ \mathrm s$，NED 深度增加还是减少？位移多少？
2. 00-V2（叉乘）：$r^b=[0,0.2,0]^T\ \mathrm m$、$F^b=[5,0,0]^T\ \mathrm N$，力矩是什么？
3. 00-V3（矩阵）：用上面的朝东旋转矩阵把 $v^b=[1,1,0]^T\ \mathrm{m/s}$ 变为导航速度，并核对长度。

展开逐步答案

00-V1：向下为正，$\Delta p^n=[0,0,0.6]^T\ \mathrm m$，深度增加。00-V2：只有第三项非零，$N_z=0(0)-0.2(5)=-1\ \mathrm{N\,m}$，所以 $N^b=[0,0,-1]^T\ \mathrm{N\,m}$。00-V3：逐行乘得 $v^n=[-1,1,0]^T\ \mathrm{m/s}$；前后长度均为 $\sqrt2\ \mathrm{m/s}$。

下一步：变化率与一拍预测。应用入口：坐标与姿态、推进器几何。