09 · 深入｜约束 MPC：在未来几秒里提前做取舍

PID 看当前误差，MPC 还看未来可行性

当机器人即将转弯、推进器有幅值与变化率限制、多个轴争用同一组执行器时，当前误差小不代表下一秒不会饱和。MPC 用模型预测未来一段时间的状态，求出一串输入，只执行第一个，再用新测量重新求解。这叫滚动时域。

$$\text{x[k+1] =}{\text{A}}_{\text{d}}\text{x[k] +}{\text{B}}_{\text{d}}\text{u[k] +}{\text{E}}_{\text{d}}\text{ŵ[k]}$$

$$\text{min Σ(j=0…N−1) [‖x\_j−x\_ref,j‖²\_Q + ‖u\_j‖²\_R + ‖Δu\_j‖²\_S] + ‖x\_N−x\_ref,N‖²\_P}$$

约束可以包括速度、推力、推力变化率和安全走廊。线性模型、二次目标和线性约束构成 QP。Q/R/S 表达跟踪、输入和变化平滑的权衡；力矩和力同样要先归一化。若控制变量直接使用八台推力，模型中含 A f，就能把分配限制一起纳入预测；代价是问题更大。

一个“必须提前刹车”的例子

沿某轴以 0.4 m/s 接近目标，最大减速度只有 0.2 m/s²，理想刹停需 2 s 和 0.4 m。若预测窗只覆盖 0.5 s，控制器看不到完整刹停过程，可能过晚制动；覆盖关键动力学时间尺度的预测窗更有意义。增加 N 同时增加计算量，因此可适当降低预测采样率，控制输出仍保持更快更新。

实现顺序

先用已辨识的单轴离散模型，状态 [位置,速度]，只约束推力；再加入速度与 Δu 限制。之后引入扰动估计，避免模型偏差造成稳态偏差。最后扩展到多轴和分配耦合。每次求解都检查状态、约束与上一输入的一致性，并为求解失败或超时保留一个简单可预测的控制回退。

为什么“用了优化”不等于自动稳定

有限预测窗与合适目标通常能产生好行为，但稳定性和递归可行性仍取决于设计。终端代价与终端集合、约束收紧和软约束是重要工具。软约束允许付出代价违反某些性能目标，避免无解；物理输入限制不能通过松弛变成真实可执行。管状 MPC 用局部反馈把模型误差限制在名义轨迹附近，并收紧约束留出误差余量。

什么时候值得换

PID 适合模型简单、低速、约束较少且计算资源有限的局部环；MPC 适合约束经常活跃、轴间耦合明显、参考轨迹可预测的外层。很实用的组合是外层 MPC 生成受约束速度／加速度，内层保留快速稳定的 PID 或鲁棒控制，而不是把所有环一次替换。

实验：同一模型上比较 PID+抗饱和与 MPC，使用相同推力和速度限制，给出需要提前减速的轨迹。随后加入质量误差，观察预测优势怎样受到模型质量影响。阅读 Rawlings、Mayne、Diehl 的免费教材入口，优先看线性约束 MPC 与滚动优化：https://sites.chemengr.ucsb.edu/~jbraw/mpc/ 。