04｜八推进器：从 22.5° 几何到受约束分配

一台推进器就是一列广义力

对第 i 台推进器，r_i 是相对机体参考原点的位置，d_i 是正推力的单位方向，f_i 是有符号推力。力是 d_i f_i，力矩是 r_i×d_i f_i，因此八台推进器共同组成一个 6×8 矩阵。

$$\text{τ = A f，}{\text{A}}_{\text{i}}\text{=}\left[\begin{array}{c}{\text{d}}_{\text{i}}\\ {\text{r}}_{\text{i}}\text{×}{\text{d}}_{\text{i}}\end{array}\right]$$

若水平推进器方向与机体前轴成 α，则 d_i=[cosα,sinα,0]ᵀ，偏航力矩系数为 x_i sinα−y_i cosα。取 α=22.5°，前向投影约 0.924，右向投影约 0.383。两者比值约 2.414，说明单台方向偏向前进能力；整艇能力还取决于位置、其他推进器方向以及零力矩约束。

伪逆解决了什么

当目标在 A 的值域内，f=A†τ_d 给出无约束的最小欧氏范数解。八个输入对应六个输出时，冗余可以用于减少推力或改善分配。几何满秩说明局部方向覆盖，却不说明推力受限时任何 τ_d 都可达到。

例如两台执行器的无约束解是 [12,−2] N，而单台上限只有 10 N。直接裁成 [10,−2] 会改变合力，也可能引入偏航力矩；重新求解能利用其他推进器共同补偿，这就是优化分配的价值。

$$\text{min\_f ‖W\_τ(Af−τ\_d)‖² + λ‖W\_f f‖² + μ‖f−f\_prev‖²}$$

$$\text{f\_min ≤ f ≤ f\_max， −rT ≤ f−f\_prev ≤ rT}$$

第一项追踪广义力，第二项是推力使用的二次代理，第三项平滑变化。推力平方并非精确电功率；若要优化能耗，应使用合适的推进器功率模型。W_τ 先解决 N 与 N·m 的量纲归一化，再表达深度、姿态或平移的优先级。

故障不是简单把输出改成零

完全失效可以将该通道 f_i 固定为零；部分效率损失可写 A diag(η_i)f，其中 η_i∈[0,1]。故障后重新计算可实现集合：原本能同时维持的深度、偏航和平移，可能需要取舍。QP 的残差告诉上层“这一方向的需求暂时做不到”，上层应减速或降低任务复杂度，积分器也要停止积累无法实现的要求。

实现与实验

用几何表生成 A，不手工猜每个混控符号；先逐台计算单位推力造成的力与力矩，再求一个纯前进、纯侧移、纯偏航例子。接着沿各方向逐渐增大需求，画出饱和如何出现。最后逐个模拟推进器失效，比较伪逆后裁剪与受限 QP：重点观察哪个轴被牺牲，以及优先级改变后行为如何变化。

阅读：Fossen 与 Johansen 的控制分配综述，先看受约束问题的组织方式：https://www.fossen.biz/publications/2006%20Fossen%20and%20Johansen%20MED.pdf 。