02｜动力学：水下机器人为什么难控制

质量之外，还有被一起加速的水

空气中的低速小车常用 F=ma 入门；水下机器人还要加速周围流体，因此有附加质量。速度起来后，阻力会随相对水速增加；重心与浮心的相对位置带来姿态恢复力矩；转动和平移还存在耦合。把这些项分开理解，比背一个六维矩阵更有用。

$$\text{η̇ = J(η)ν， Mν̇ + C(ν)ν + D(ν)ν + g(η) = τ}$$

η 是位置与姿态，ν=[u,v,w,p,q,r]ᵀ 是机体系速度；M 包含刚体和附加质量；C 描述科氏／离心耦合；D 描述耗散；g 是写在等号左侧的重浮力恢复项；τ 是推进广义力。合适的模型中 M 对称正定，C 的结构使 νᵀCν=0：它转移运动能量，而不凭空产生能量。

重浮力的符号可以自己推

NED 的下为正，因此重力在导航系是 [0,0,W]，浮力是 [0,0,−B]。先用 Rᵀ 转到机体系，再分别计算 r_G×F_W 与 r_B×F_B。如果把这些外力合量搬到方程左侧，就是 g 的相反号。浮心在重心上方可产生横滚／俯仰恢复趋势，却不会把水平漂走的机器人自动拉回原点。

海流改变的是相对速度

$${{\text{v}}_{\text{r}}}^{\text{b}}\text{=}{\text{v}}^{\text{b}}\text{−}{\text{R}}^{\text{T}}{{\text{v}}_{\text{current}}}^{\text{n}}$$

对地悬停时 vⁿ=0，不代表相对水速度为零。若水朝东流，机器人需要向西的推进力去抵消水动力。底跟踪 DVL 告诉你相对海底的速度，水跟踪告诉你相对水体的速度；两者相减才有估计海流的机会。建模时应区分刚体惯性和依赖相对速度的水动力，不能把整条动力学方程里的 ν 都机械替换成 ν_r。

从六维回到一个能算的轴

$$\text{m\_eff v̇ = u − d₁v\_r − d₂|v\_r|v\_r + w}$$

取 m_eff=20 kg、d₁=8 N·s/m、d₂=0，无流时施加 4 N 恒力。稳态速度是 4/8=0.5 m/s，时间常数是 20/8=2.5 s。前者由阻尼决定，后者由惯性与阻尼之比决定。相同稳态速度但上升更慢，通常意味着有效惯量更大；不能只根据终点速度辨识质量。

实现与实验

先实现单轴 ODE，再加入二次阻尼和恒定海流。把输入设为零，看动能是否衰减；给定不同速度，看所需稳态推力为何不是线性增长。然后将 yaw 改变 90°，保持同一导航系海流，观察机体系流速分量随姿态改变。模型越复杂，越要保留这种简单物理检查。

阅读入口：Fossen 的 Marine Craft Model 给出完整结构与相对流模型：https://www.fossen.biz/html/marineCraftModel.html 。先对应 M、C、D、g 的意义，再看具体矩阵展开。